Di Marco Giubbilei
*ITALIANO/ENGLISH
Traduzione dell'autore
Quante volte abbiamo guardato le foglie che cadono dagli alberi, le gocce di pioggia che scendono dal cielo o i lanci della palla di un bambino? Quelle che a prima vista sembrano situazioni diversissime tra di loro sono in realtà accomunate da un fatto fisico molto importante e cioè l’azione della forza di gravità, che costringe gli oggetti a cadere verso il suolo. Il primo scienziato dell’epoca moderna che indagò con criteri rigorosi sulla natura della forza di gravità fu Galileo Galilei già dagli esordi della sua carriera alla fine del 1500. Galileo, sulla base di accurate osservazioni sperimentali, arrivò alla sorprendente scoperta che, in assenza dell’attrito dovuto all'aria, due corpi di massa diversa lasciati cadere simultaneamente dalla stessa altezza raggiungono il suolo nello stesso istante o, equivalentemente, cadono con la stessa accelerazione (Figura 1).
In questo modo Galileo confutò in modo inequivocabile uno dei fondamenti della teoria aristotelica, che era stata ritenuta valida per molti secoli. Per quanto possa sembrare bizzarro, ci dobbiamo aspettare quindi che se lasciassimo cadere in assenza di aria un elefante ed una piuma dal terrazzo di casa nostra (avendo cura però che la povera bestia non si faccia male durante il nostro esperimento) essi atterrerebbero al suolo nello stesso istante. Questo fatto è molto interessante da un punto di vista fisico perché dimostra che sistemi tra di loro molto diversi si comportano in realtà nello stesso modo sotto l’azione della forza di gravità.
Nel 1687 Isaac Newton pubblicò i Philosophiae Naturalis Principia Matematica e in questa opera formulò la sua celebre legge della gravitazione universale, che in modo rivoluzionario estese il concetto di attrazione gravitazionale a corpi qualsiasi, come ad esempio i corpi celesti.
E’ interessante ripercorrere il ragionamento che fece Newton per arrivare a questa generalizzazione, in quanto esso parte proprio dalle osservazioni sperimentali che erano state fatte in precedenza sulla caduta al suolo dei corpi. Immaginiamo di lanciare un sasso con un certa velocità (Figura 2).
Il sasso viaggerà con una traiettoria parabolica e dopo un certo intervallo di tempo cadrà al suolo ad una certa distanza da noi. Aumentando progressivamente la velocità di lancio il sasso descriverà ancora una traiettoria parabolica ma cadrà sempre più lontano da noi. Cosa succederà nel momento in cui la velocità di lancio raggiungerà un valore sufficientemente elevato? La grande intuizione di Newton consistette proprio in questo: in corrispondenza di un particolare valore della velocità di lancio il sasso, a causa della curvatura terrestre, continuerà nella sua caduta ma non riuscirà più a toccare il suolo. Nel linguaggio moderno diremmo che il sasso è entrato in orbita attorno alla Terra ed il valore di velocità necessario perché ciò accada è la cosiddetta velocità di fuga (si tratta di un valore enorme di velocità, pari a circa 11 km/s e cioè a circa 40.000 km/h). Se adottiamo questa prospettiva potremo allora interpretare ad esempio il moto di rivoluzione della Luna attorno alla Terra osservando semplicemente che la Luna “cade” continuamente verso la Terra, senza però (fortunatamente per noi) mai toccarla.
Oltre a generalizzare il fenomeno dell’attrazione gravitazionale tra corpi come estensione del fenomeno di caduta dei gravi, Newton riuscì anche a darne una formulazione matematica. La legge di gravitazione universale afferma infatti che due corpi si attraggono tra loro con una forza proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. In formula:
Dove m1 ed m2 sono le masse dei due corpi, d la distanza che li separa e G una costante, detta costante di gravitazione universale, il cui valore è G = 6.67×10^−11 N m^2/kg^2.
Con questa formula Newton fu in grado di spiegare in modo esauriente molti fenomeni riguardanti i corpi celesti, come ad esempio le caratteristiche delle loro orbite e le maree sulla Terra, e di fare previsioni sul loro comportamento. Una domanda che potrebbe sorgere in merito a questa legge è la seguente: ma se si tratta veramente di una legge fisica universale come mai ponendo due penne su un tavolo le penne rimangono dove si trovano e non si attraggono l’una con l’altra? La risposta è data dal valore numerico della costante di gravitazione universale che, essendo molto piccolo, richiede la presenza di masse molto grandi per dar luogo alla manifestazione di una forza osservabile sperimentalmente. La scala dimensionale alla quale è possibile osservare gli effetti della forza di gravitazione universale è pertanto ad esempio quella dei corpi celesti.
La scoperta di una legge fisica porta sempre gli scienziati ad interrogarsi sulle caratteristiche del suo funzionamento e spesso ciò ha come conseguenza la formulazione di nuove leggi che ne generalizzano ulteriormente il significato. Se riflettiamo infatti in modo più approfondito sul meccanismo di funzionamento della legge di gravitazione universale possiamo osservare che la forza di attrazione esplica i suoi effetti senza che abbia luogo alcun tipo di contatto tra i due corpi coinvolti. Per questo motivo la forza gravitazionale può essere definita una forza a distanza. Nella nostra esperienza quotidiana, come quando ad esempio spingiamo una cassa lungo il pavimento, in realtà abbiamo familiarità con un’altra categoria di forze e cioè le cosiddette forze di contatto. L’interpretazione del loro meccanismo di funzionamento è molto semplice: ad una causa, come ad esempio la persona che spinge, corrisponde un effetto immediatamente osservabile e cioè il movimento della cassa lungo il pavimento. Nel caso della forza di attrazione gravitazionale il meccanismo di funzionamento della forza risulta molto più oscuro dal momento che una certa causa produce un certo effetto senza un’interazione diretta tra i corpi coinvolti. Ci troviamo quindi in una situazione piuttosto singolare: siamo in presenza di una legge che descrive il comportamento di una forza con una struttura matematica molto semplice e che è anche in grado di spiegare moltissimi fenomeni che hanno luogo intorno a noi ma della quale ignoriamo il meccanismo di funzionamento e cioè il modo in cui tale forza si trasmetta tra i corpi ai quali si applica.
E se questa difficoltà di interpretazione del meccanismo di funzionamento della forza gravitazionale fosse dovuta ad una prospettiva sbagliata, o perlomeno incompleta, dalla quale stiamo considerando il problema? Proviamo per un attimo con l’immaginazione ad abbandonare il nostro confortevole universo tridimensionale e ad addentrarci in uno completamente diverso. Nel nostro universo i fenomeni sono descritti con l’uso di tre dimensioni spaziali, come quando ad esempio parliamo delle dimensioni di una stanza e le individuiamo tramite l’assegnazione di una lunghezza (X), di una larghezza (Y) e di un’altezza (Z). Nell'universo in cui ci trasferiamo, che chiameremo Flatlandia, gli abitanti vivono invece in un mondo bidimensionale, nel quale cioè la terza coordinata spaziale non esiste più. Possiamo immaginare Flatlandia come un piano e tutto ciò che accade in questo piano può essere descritto con l’uso di due sole dimensioni spaziali. In altre parole, gli oggetti di Flatlandia hanno anch'essi una lunghezza ed una larghezza ma sono privi di altezza.
Convinciamo adesso due volenterosi abitanti di Flatlandia a svolgere un esperimento di fisica per noi (Figura 3).
Facciamo camminare i due abitanti facendoli partire da due posizioni iniziali del piano che si trovano ad una certa distanza d e diciamo loro di camminare parallelamente l’uno all'altro con la stessa velocità, misurando quanto vale la loro distanza al passare del tempo man mano che procedono nel loro moto. I due abitanti si accorgono con grande
sorpresa che, pur essendo partiti con traiettorie parallele, la loro distanza comincia a diminuire man mano che si muovono e, dopo un certo tempo t, addirittura la loro distanza si riduce a zero portandoli ad incontrarsi nello stesso punto del piano. Come interpreteranno i due abitanti questo strano fenomeno?
Probabilmente ipotizzeranno l’esistenza di un qualche tipo di forza attrattiva che ne ha modificato le traiettorie portandoli a convergere nello stesso punto. E se invece le cose non stessero così? Se cioè semplicemente gli abitanti di Flatlandia ignorassero di vivere in un universo più complicato di quello da loro percepito, con una struttura geometrica costituita da una sfera piuttosto che da un semplice piano bidimensionale? Ebbene in questo caso le cose cambierebbero radicalmente e i due abitanti non avrebbero più bisogno di ricorrere all'esistenza di una forza attrattiva per spiegare la loro convergenza nello stesso punto (Figura 4).
Se infatti i due abitanti si muovessero partendo dall'equatore della sfera seguendo due meridiani diversi si ritroverebbero nello stesso punto, dopo un certo intervallo di tempo, per esempio raggiungendo il polo nord della sfera. La convergenza nello stesso punto dello spazio verrebbe cioè interpretata semplicemente come una proprietà della geometria della sfera (Figura 5).
Ovviamente la spiegazione geometrica dello strano percorso dei due abitanti di Flatlandia richiede un rivoluzionario cambiamento della prospettiva dalla quale si guarda il fenomeno ed è esattamente quello che fece Albert Einstein con la sua formulazione, nel 1915, della Teoria della Relatività Generale. Einstein infatti ipotizzò che l’universo nel quale viviamo non sia un semplice universo tridimensionale, caratterizzato cioè da tre sole dimensioni spaziali, ma un universo più complesso con una dimensione aggiuntiva costituita dal tempo, formando così quello che viene chiamato spazio-tempo. Le proprietà dello spazio-tempo sono molto singolari ed esulano completamente dalla nostra ordinaria esperienza quotidiana. Esso può essere infatti immaginato come una sorta di tessuto elastico il quale viene curvato dalla presenza di grandi masse, come ad esempio quelle dei corpi celesti (Figura 6).
In questo universo quadrimensionale non c’è più la necessità di introdurre una forza ad hoc per spiegare l’attrazione tra due corpi: la gravità viene così a costituire una caratteristica intrinseca della struttura dello spazio-tempo stesso. Se pensiamo ad esempio alla traiettoria che descrive la Luna nel suo moto di rivoluzione attorno alla Terra essa potrà essere spiegata semplicemente come un effetto della curvatura dello spazio-tempo prodotta dal nostro pianeta.
Che fare allora della legge di gravitazione universale di Newton, che per diversi secoli ci ha così egregiamente servito nella spiegazione di molti fenomeni del mondo che ci circonda? Essa continua a mantenere inalterata la sua validità e le sue capacità previsionali, anche se riesce a darci solo una visione approssimata della complessità dell’universo nel quale viviamo.
WHAT IS GRAVITY
How many times have we watched the leaves falling from a tree, the raindrops coming down from the sky, or a ball kicked by a child? At first glance, we could think we are watching completely different physical phenomena. However, all of them have something important in common, that is the action of the force of gravity which makes them fall toward the ground. The first scientist of the modern era who investigated with rigorous criteria the nature of the force of gravity was Galileo Galilei, since the beginning of his career at the end of 1500. Galileo, on the basis of accurate experimental observations, came to the amazing conclusion that, in the absence of any friction due to the presence of the air, two bodies of different masses dropped simultaneously from the same height hit the ground at the same time or, equivalently, fall with the same acceleration (Figure 1).
In this way, Galileo confuted unequivocally one of the foundations of the Aristotelian theory, which had been considered valid for many centuries. Even though it can seem weird, we must then expect that if we drop, in the absence of the air, an elephant and a feather from the balcony of our home (taking care not to hurt the poor beast) they will hit the ground at the same time. This fact is very interesting from a physical point of view because it shows that different systems have the same behavior under the effect of the force of gravity.
In 1687 Isaac Newton published his Philosophiae Naturalis Principia Matematica and in this work he formulated the famous law of universal gravitation, which extended in a revolutionary way the concept of gravitational attraction to bodies of any nature, like for instance celestial bodies. It’s interesting to follow the reasoning did by Newton to come to this generalization because it was based on the experimental observations previously carried out about falling bodies. Let’s imagine throwing a stone at a certain speed (Figure 2).
The stone will travel following a parabolic path and after a certain time interval will hit the ground at a certain distance from us. If we increase progressively the launch speed of the stone it will follow again a parabolic path but will hit the ground farther from us. What will happen when the launch speed reaches a higher value? Newton’s great intuition was exactly about this point: for a particular value of the launch speed the stone, due to the Earth’s curvature, will keep on falling but will no longer be able to hit the ground. In our modern language, we would say that the stone is now orbiting around the Earth and the corresponding launch speed is the so-called escape velocity (it is a huge value of speed: about 11 km/s, that is about 40,000 km/h). If we adopt this perspective we can interpret for example the orbital motion of the Moon around the Earth simply observing that the Moon keeps on falling toward the Earth, without (fortunately for us) ever hitting our planet.
Besides generalizing the gravitational attraction between two bodies as an extension of the phenomenon of falling bodies, Newton gave also a mathematical description of it with the following formula:
where m1 and m2 are the masses of the two bodies, d the distance between them and G a constant, called the universal gravitation constant, whose value is G = 6.67×10^−11 N m^2/kg^2.
Thanks to his formula Newton explained thoroughly many phenomena regarding the celestial bodies, such as the properties of their orbits and the tides on the Earth. Besides, the law was able to make correct predictions about their physical behavior. However, the following question may arise about this law: if the gravitational force is universal, why if we put two pens on the table they do not attract each other? The answer is given by the numerical value of the universal gravitational constant G which, being extremely small, needs huge masses to produce an experimentally observable force. Therefore, the dimensional scale necessary to observe the effects of the universal gravitational force is for example the scale of the celestial bodies.
Discovering a physical law always leads scientists to question how it really works and this often results in formulating new laws that generalize its physical content. If we think in more detail about the mechanism underlying the universal gravitational law we can observe that the attraction force between two bodies manifests its effects with no kind of contact between them. For this reason, the gravitational force can be defined as a distance force. In our daily experience, for example when we push a crate along the floor, we are familiar with a different category of forces, that is the so-called contact forces. Interpreting the way a contact force works is easy: there is a cause, in our case the person pushing the crate, and an effect directly associated with this cause, that is the movement of the crate along the floor. Considering the action of the gravitational force things are instead not so clear because a certain cause, that is the very presence of two masses, determines an effect with no direct interaction between them. We face therefore a pretty weird situation: there is a law which describes the behavior of a force using a very simple mathematical structure and that force explains a large number of physical phenomena, but we have no idea about its mechanism, that is about the way such a force is transmitted between the two bodies it acts on.
But what if this difficulty in interpreting the mechanism behind the gravitational force were related to a wrong, or at least incomplete, perspective from whom we are considering the problem? Let’s imagine for a while to abandon our comfortable three-dimensional universe and enter a completely different one. In our universe, all phenomena can be described using three spatial dimensions, for example when we talk about the dimensions of a room and we identify them using length (X), width (Y) and height (Z). In the new universe, that we will call Flatland, its inhabitants live instead in a two-dimensional world, where the third spatial coordinate does no longer exist. We can think of Flatland as a plane where everything can be described through just two spatial dimensions. In other words, all objects of Flatland have length and width but do not have height.
Let’s now persuade two willing inhabitants of Flatland to carry out a physics experiment for us (Figure 3).
The two Flatlanders start walking from two different positions of the plane, located at a certain distance from each other, and try to move along parallel paths with the same speed. As time goes by they keep on measuring the distance between them during their motion. To their surprise, the two Flatlanders realize that their distance starts decreasing as long as they move on. After a certain time t the distance between them drops to zero and they encounter at the same point of the plane.
How will the two Flatlanders interpret their weird result?
Presumably, they will suppose the existence of some kind of attraction force modifying their paths and resulting in their final convergence at the same point. And what if things were different? That is, what if the two Flatlanders ignored to live in a more complicated universe, with a geometrical structure formed by a sphere rather then by a simple two-dimensional plane? Well, in this case, things would radically change and they would no longer need the existence of an attraction force to explain their convergence at the same point (Figure 4).
In a sphere-shaped universe, the two Flatlanders could move from the equator along two different meridians and reach the same point, after a certain time interval, for example heading toward the North pole of the sphere. Therefore, their convergence at the same point of the space would be interpreted simply as a property of the geometry of the sphere (Figure 5).
The geometrical explanation of the weird paths traveled by the two Flatlanders requires a revolutionary change of perspective and that is exactly what Albert Einstein did formulating his Theory of General Relativity in 1915. Einstein supposed that the universe we live in is not a simple three-dimensional entity, described by just three spatial dimensions, but rather a more complex universe with an extra dimension given by time, thus resulting in the so-called space-time. The properties of space-time are pretty peculiar and extend far beyond our ordinary daily experience. It can be imagined as a sort of elastic fabric, which is curved by the presence of huge masses such as those of the celestial bodies (Figure 6).
In this four-dimensional universe, we do no longer need a specific force to explain the attraction between two bodies: gravity is just an intrinsic property of space-time. Considering for example the orbital motion of the Moon around the Earth, it can easily be interpreted as an effect of the space-time curvature produced by our planet.
What doing then with Newton’s universal gravitational law, which has brilliantly explained for several centuries many phenomena of the world surrounding us? The law continues to be valid and its forecast capabilities are also preserved, even though it describes only approximately the complexity of our universe.
